Золотое сечение

 Познание восприятия человеческим глазом гармонии извечно волновало человечество. Уже в Древней Греции красота и гармония стали важнейшими категориями познания. Во все времена зодчие воздвигали замечательные сооружения – от храмов Египта до русских церквей, используя секреты гармонии, скрытые в пропорциях целого.

Из множества пропорций существует одна, обладающая уникальными свойствами и удивительно действующая на восприятие человеком окружающего на подсознательном уровне. Она отвечает такому делению целого на части, при котором отношение большего к меньшей части равно отношению целого к большей. Эта пропорция и есть «божественная пропорция» или «золотое сечение». 

Упрощенно такое соотношение можно представить как 2/3 или 3/5.

Если разделить отрезок прямой на 2 неравные части, чтобы его длина а относилась к большей части в так, как большая часть к меньшей (а-в), получим результат, который называется золотым сечением. Это иррациональное число = 1,618 или 0,618.

а/в = в/(а-в). Этим уравнением описываются свойства золотого сечения. Если в=1; а=1/(а-1); а(а-1)=1; а²-а-1=0.

 а₁=+(Ö5+1)/2 = 1,618;       а₂=-(Ö5+1)/2 = -0,618;    

Только а₁ положительно. Обозначим его Ф (по первой букве Фидий – греческого скульптора, применявшего золотые пропорции в своих творениях).  Тогда Ф²-Ф-1=0. Это уравнение описывает свойства золотого сечения.

Деление отрезка в золотой пропорции

 ВС=1/2АВ; CD=ВС.

Из точки В восстанавливаем перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладываем отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок АD переносится на АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции. Если АВ принять за единицу, то АЕ=0,618, а ЕВ=0,382.

Вспомним теорему Пифагора – «квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Именно эта формула и треугольник с соотношением сторон 1:2:Ö5 были положены в основу многих античных сооружений, сделав их исключительно гармоничными для восприятия. 

Из этих величин следует и число (а+с)/в= 1+Ö5/2=1,618033.

Если в треугольнике с/а=Ф;    в/а=с/в=ÖФ;   Ф²=Ф+1, то в нем угол между с и а=51⁰51’.

Золотое сечение можно найти, рассматривая некоторые геометрические фигуры.

Пятиконечная звезда, получаемая при последовательном соединении через одну всех вершин правильного пятиугольника (пентаграмма), всегда привлекала внимание людей совершенством формы. Пифагорейцы выбрали пентаграмму символом своего союза (это символ жизни и здоровья). В этой фигуре наблюдается удивительное постоянство отношений составляющих ее отрезков.

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер. Пусть О – центр окружности, F – точка на окружности и L – середина отрезка ОF. Перпендикуляр к радиусу ОF, восстановленный в точке О, пересекается с окружностью в точке E. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок LV=LЕ. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна AE. Откладываем на окружности отрезки AE и получим пять точек для начертания правильно пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

                                                   Золотой треугольник

 Каждый коней пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36⁰ при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит его в пропорции золотого сечения. Одно из замечательных свойств такого треугольника состоит в том, что длины биссектрис углов при его основании = длине самого основания.

Построение золотого треугольника

Проводим прямую а. От точки А откладываем три отрезка О произвольной величины. Через полученную точку Р проводим перпендикуляр к прямой а. На перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки К и L соединяем прямыми с точкой А. Отрезок КL откладываем на линии АК, получим точку R. Она разделит отрезок АК по золотому сечению. Симметрично аналогично.

Построение золотого прямоугольника

 Для построения золотого прямоугольника в качестве смежных сторон возьмем KL и AK треугольника AKL (см. предыдущий рисунок).

Если от золотого прямоугольника отрезать квадрат, то опять получится золотой прямоугольник, так можно продолжить до бесконечности. На рисунке видно, что если провести диагонали первого и второго прямоугольников, то их точка пересечения будет принадлежать всем полученным золотым прямоугольникам.

Построение спирали Архимеда

 Представление о золотом сечении и золотых фигурах будет неполным, если не сказать о спирали. Если посмотреть на раковину улитки, можно заметить, что она закручена по очень красивой спирали.

Для построения золотой спирали нужно воспользоваться золотым прямоугольником, соединяя дугами точки квадратов, отсеченных от золотого прямоугольника при построении новых золотых прямоугольников.

Ряд Фибоначчи

 В книге по математике, написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи, была забавная задача о кроликах: «Сколько пар кроликов за один год от одной пары рождается?» Далее в задаче поясняется, что природа кроликов такова, что через месяц пара их производит на свет другую пару, а начинаю размножаться они со 2-ого месяца после своего рождения.

месяцы	количество пар кроликов (n0-n12)
0	0
1	1
2	1
3	2
4	3
5	5
6	8
7	13
8	21
9	34
10	55
11	89
12	144

Этот ряд чисел известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих.

Vn+1/Vn®Ф при  n®µ

Спустя столетие после открытия Фибоначчи ряда чисел И. Кеплер установил, что отношение рядом стоящих чисел в пределе стремиться к золотой пропорции.

История золотого сечения

 Принять считать, что понятие о золотом сечении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона   свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

Например, высота пирамиды в Гизе равна– 147,6 (146,7)м = 5813дюймов (5-8-13) это числа из ряда Фибоначчи. 

Кроме того, отношение площади боковой поверхности к площади основания = площади полной поверхности на площади боковой поверхности = Ф. ОМ/MN=ÖФ=1,272

ON/MN=Ф=1,618

Если MN=1, то OM=ÖФ;  ON=Ф.

Можно предположить, что исходным элементом пирамиды Хеопса в Гизе является треугольник в ее вертикальном сечении, в котором ОМ/MN= ON/ ОМ =ÖФ, а ON/MN=Ф. Ф²=Ф+1. Это соотношение имеет место в совершенном прямоугольном треугольнике, где один из углов = 51⁰51’

В фасаде древнегреческого храма Парфенона (Vв. до н.э.)в афинском акрополе присутствуют золотые пропорции.  Парфенон является одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. Парфенон  имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада.

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминалось в «Началах» Евклида. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «начал» Евклида. Секреты золотого сечения оберегались и хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

В эпоху Возрождения усилился интерес к золотому сечению среди ученых и художников. Леонардо да Винчи начал писать книгу о геометрии, но в это время появилась книга Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. Лука Пачоли был великим математиком Италии между Фибоначчи и Галилеем. 

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он дал название золотому делению золотое сечение.  Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

В то время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела.

Великий астроном XVI века Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).

В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы избавились и от золотого сечения.

Вновь открыто золотое сечение было в середине XIX века. В 1855 году немецкий исследователь  золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около 2 тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13:8=1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в отношении 8:5=1,6.

Справедливость теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Великий скульптор Фидий часто использовал золотое сечение в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуи Зевса Олимпийского и Афины Парфенос. 

Исследованию Цейзинга подверглись греческие вазы, архитектурные сооружения, растения, животные, птичьи яйца, стихотворные размеры. Цейзинг показал как золотое сечение выражается в отрезках прямой и в цифрах. Цифры составили ряд Фибоначи, который можно продолжить до бесконечности.

Примеры золотого сечения

 В конце XIX – начале XХвека появилось немало теорий по применению золотого сечения в произведениях искусства и архитектуре. С развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и т.д.

Числа золотого сечения действительно замечательные. Везде, где Человек ощущает гармонию – в звуке, в цвете, в размерах, - всюду присутствует золотое сечение. Так С. Эйзенштейн искусственно построил фильм «Броненосец Потемкин» по правилам «золотого сечения». Он разбил ленту на пять частей. В первых трех действие разворачивается на корабле. В двух последних – в Одессе, где разворачивается восстание. Этот переход в город происходит точно в точке золотого сечения. Да и в каждой части свой перелом, происходящий по закону золотого сечения. В кадре, сцене, эпизоде происходит некий скачок в развитии темы: сюжета, настроения. Так как такой переход близок к точке золотого сечения, он воспринимается как наиболее закономерный и естественный.

Золотое сечение в музыке

В целом ряде музыкальных произведений выявляется золотое сечение в композиции произведений Шопена, Бетховена, Шостаковича, Моцарта, Шуберта.

Золотое сечение в поэзии

 Академик Церетели нашел, что гармония стиха в поэме Шота Руставелли «Витязь в тигровой шкуре» подчиняется золотому сечению.

Анализ стихов Пушкина показал, что поэт предпочитал размеры в 5,8,13,21 и 34 строки (числа Фибоначчи).

  

Золотое сечение в архитектуре

Известный русский архитектор М. Казаков в своем творчестве использовал «золотое сечение». По проекту Казакова в Москве была построена Голицынская больница, которая в настоящее время называется первой клинической больницей имени Н.И. Пирогова (Ленинский проспект,5). Еще один архитектурный шедевр Москвы – дом Пашкова – одно из наиболее совершенных произведений В. Баженова.

Золотое сечение в живописи

 В эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом совершенно неважно, какой формат имеет картина – горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.

Данное открытие у художников того времени получило название «золотое сечение картины». Поэтому, для того чтобы привлечь внимание к какому-либо предмету картины, необходимо поместить его в один из этих зрительных центров. 

Говоря о примерах золотого сечения в живописи нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Портрет Моны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника.

В картине Шишкина «Корабельная роща» также просматривается золотое сечение.  Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны – освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали. Слева от главной сосны находится множество сосен, в расположении которых также можно найти золотое сечение. Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия, в соответствии с замыслом художника.

Золотое сечение в шрифтах, утвари

Золотое сечение в живой природе

 У многих бабочек соотношение размеров грудной и брюшной части тела отвечает золотой пропорции. Сложив крылья, ночная бабочка образует правильный равносторонний треугольник, но стоит развести крылья и можно увидеть тот же принцип членения тела на 2,3,5,8.

Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение – цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38. И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы – симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста.

Цветки и семена подсолнуха, ромашки, чешуйки в плодах ананаса, хвойных шишках запакованы «по золотым» спиралям.

Построение отражений в зеркальной плоскости

 Отражения могут быть не только в зеркальной плоскости, но и в другой какой-нибудь поверхности: шаре (елочная игрушка), посуде (чайник, самовар, кастрюля), в слегка волнистой поверхности озера, реки или пруда. Эти отражения связаны с другими видами перспективы и строятся по законам кривых зеркал. В нашем курсе рассматриваются только построения отражений в плоских зеркальных поверхностях.

Основные положения при построении отражений в плоском зеркале

 Процесс отражения лучей от зеркала заключается в том, что, попадая на блестящую поверхность, они отражаются, изменяя свое направление. Построение отраженных лучей от плоского зеркала основано на физических законах оптики.

Зададим зеркало, расположенное в горизонтальной плоскости и источник освещения, от которого направлены в разные стороны световые лучи. Попадая на зеркальную поверхность, они отражаются от нее в определенном направлении. Из физики известны следующие законы оптики, по которым происходит отражение лучей от зеркальной поверхности:

1)               лучи, падающий и отраженный, расположены в одной плоскости с перпендикуляром, проведенным к зеркалу через точку падения луча;

2)               угол падения равен углу отражения.

Рис. 1

На этих законах оптики основаны построения отражений предметов в плоском зеркале (рис. 2)

Рис. 2

Правила построения отражений в плоском зеркале

 Для построения отражений предмета в зеркальной плоскости нужно: а) из всех характерных точек предмета опустить перпендикуляры к плоскости зеркала; б) найти точки их пересечения с плоскостью зеркала; в) продолжить перпендикуляры за зеркальную плоскость на такое расстояние, на котором соответствующие точки предмета находятся перед ним.

Положение зеркальной плоскости может быть различным вертикальным, горизонтальным, наклонным.

Относительно картины вертикальная зеркальная плоскость может иметь 3 положения:

-                    во фронтальной плоскости;

-                    в глубинной плоскости;

-                    в произвольно направленной вертикальной плоскости.

Урок 23. Задача 78.

Урок 23. Задача 79.

Урок 23. Задача 80. Часть 1

Урок 23. Задача 80. Часть 2

Урок 23. Задача 81

Урок 23. Задача 82

Урок 23. Задача 83. Часть 1

Урок 23. Задача 83. Часть 2

Урок 23. Задача 83. Часть 3

Урок 23. Задача 84. Часть 1

Урок 23. Задача 84. Часть 2

Урок 23. Задача 85

Урок 23. Задача 86

Построение теней при естественном освещении

         В природе существует две естественных источника освещения – солнце и луна. Освещение солнечное и лунное. Отличие природного освещения от искусственного состоит в том, что очертание тени при природном источнике постоянно меняется.

    Солнечное освещение – частный случай точечного освещения, но только светящаяся точка удалена на очень большое расстояние. Поэтому при солнечном освещении лучи принимаются за параллельные, так как источник света находится в бесконечности. При солнечном освещении задают светящуюся точку и ее проекцию – это обязательное условие построения теней. Поэтому сначала нужно установить, где будет солнце. Относительно зрителя оно может быть в трех положениях: перед зрителем, за зрителем и сбоку от него.

Солнце находится перед зрителем

В этом случае солнце расположено в предметном пространстве, а солнечные лучи являются восходящими параллельными прямыми общего положения. На основе законов перспективы известно, что восходящие параллельные прямые имеют точку схода над линией горизонта, а их проекции – на горизонте.

Следовательно, если солнце находится точно перед зрителем, то оно расположено на линии главного вертикала, а его проекция совпадает с главной точкой.

Чем дальше от линии горизонта удалена точка схода солнечных лучей, тем больше положение солнца соответствует полуденному времени.

Солнце находится за зрителем

В этом случае солнце расположено в мнимом пространстве, а солнечные лучи являются нисходящими параллельными прямыми общего положения. На основе законов перспективы известно, что нисходящие параллельные прямые имеют точку схода под линией горизонта, а их проекции – на горизонте.

Следовательно, если солнце находится за зрителем, то точка схода солнечных лучей расположена на линии главного вертикала под горизонтом, а его проекция – в главной точке.

        Чем дальше от линии горизонта удалена точка схода солнечных лучей, тем больше положение солнца соответствует полуденному времени.

Солнце находится сбоку от зрителя

В этом случае солнце расположено в промежуточном пространстве, то есть находится сбоку от зрителя, слева или справа, поэтому зритель его не видит. Тогда солнечные лучи будут параллельны картине и наклонены к предметной плоскости под произвольным углом, то есть они являются фронтальными прямыми. По законам перспективы они не имеют точки схода и остаются параллельными между собой, а их проекции параллельны основанию картины и являются прямыми широт.

Тень, падающая от вертикального объекта, расположена параллельно основанию картины. Предмет к зрителю может быть обращен как теневой, так и освещенной стороной.

Направление солнечных лучей задается углом их наклона к основанию картины. Чем больше угол наклона к горизонтальной плоскости, тем солнце ближе к полуденному времени, и тени от предметов будут короткими. Если угол наклона солнечных лучей небольшой, то это указывает на время заката или восхода солнца, а тени от предметов будут длинными.

Урок 22. Задача 73

Урок 22. Задача 74

Урок 22. Задача 75. Часть1

Урок 22. Задача 75. Часть 2

Урок 22. Задача 76. Часть 1

Урок 22. Задача 76. Часть 2

Урок 22. Задача 76. Часть 3